HarmonyHu 多思不如养志,多言不如守静,多才不如蓄德

概率论基础

2018-06-03
AI

基本概念

  • 样本空间:随机试验E的所有可能结果组成的集合,记为S
  • 样本点:样本空间的元素,即随机试验E的每个结果
  • 随机事件:样本空间的子集,简称事件
  • 不可能事件:每次试验都不会发生的事件,记为∅
  • 必然事件:S是自身的子集,必然发生

集合运算

  • A⊂B: 称事件B包含事件A

  • A∪B:A与B的和事件, \(\bigcup_{k=1}^{n}A_k 为A_1、A_2、...A_n的和事件\)

  • A∩B:A与B的积事件,

    \[\bigcap_{k=1}^{n}A_k为A_1、A_2、...A_n的积事件\]
  • A - B:A与B的差事件,{ x|x∈A且x∉B }

  • 互斥:A∩B=∅,则称A与B互斥

  • 对立:A∪B=S且A∩B=∅,则称A与B对立,或互称逆事件,A的对立事件也记为 \(\bar{A}\)

  • 交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A

  • 结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

  • 分配率:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

  • 德摩根律: \(\overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B},\overline{A∩B}=\overline{A}∪\overline{B}\)

概率

  • 事件A的概率,记为P(A)

  • P(S)=1, P(∅)=0

  • 可列可加性: \(A_1、A_2、...两两互斥,则P(A_1∪A_2∪...)=P(A_1)+P(A_2)+...\)

  • 逆事件: \(P(\overline A) = 1- P(A)\)

  • 加法公式: \(P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)

条件概率

  • A事件发生情况下B事件的概率,记为P(B|A), \(P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}\)

  • 乘法定理: \(P(AB) = P(B|A)P(A)\)

  • 划分: \(B_1、B_2、...、B_n两两互斥,且B_1∪B_2∪...∪B_n=S,则称B_1、B_2、...、B_n是样本空间S的一个划分\)

  • 全概率公式: \(P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n) = \sum_{k=1}^nP(A|B_k)P(B_k)\)

  • 贝叶斯(Bayes)公式: \(P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{ \sum_{k=1}^nP(A|B_k)P(B_k)}, (i为1、2...n中的一个)\)


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