微积分基础

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导数Permalink

导数定义Permalink

f(x)=limΔx>0f(x+Δx)f(x)Δx=limx>x0f(x)f(x0)xx0
f(x)αyαxΔyΔxdydx

意义:

  1. 可以代表曲线y=f(x)在某点的切线斜率

  2. 可以反映y在x的某点上的变化率

  3. 可以表示运动曲线s=f(t)在t的某点上的速率

导数求导法则Permalink

基本运算(加减乘除)Permalink

[u(x)±v(x)]=u(x)±v(x)
[u(x)×v(x)]=u(x)×v(x)+u(x)×v(x)
[u(x)v(x)]=u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x)

链式法则(复合函数)Permalink

y=f(u)u=g(x)dydx=f(u)×g(x)dydu×dudx

初等函数的导数Permalink

(C)=0
(xn)=nxn1
(ex)=ex
(sinx)=cosx
(cosx)=sinx
(ax)=axlna
(logax)=1xlna=>(lnx)=1x
f(x)=11+ex=>f(x)=f(x)×(1f(x))

求导试题Permalink

求函数导数: f(x)=11+ex

解:

(1+ex)1=(1)×(1+ex)2×(1+ex)=(1)×(1+ex)2×ex×(1)=1ex+ex+2

积分Permalink

积分定义Permalink

原函数: F(x)=f(x),F(x)f(x)I

不定积分公式: f(x)dx=F(x)+C,(C)

牛顿-莱布尼茨公式: baf(x)dx=F(b)F(a)

基本积分公式Permalink

xadx=1a+1xa+1+C,(Ca1)
axdx=axlna+C
exdx=ex+C
1xdx=ln|x|+C

几何意义Permalink

y=x12y=x2所围图形的面积

解:

A=10(x12x2)dx=[23x32x33]10=13

积分求解方法Permalink

基本性质Permalink

kf(x)dx=kf(x)dx,k
[f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx
baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx

第一换元法Permalink

公式: f(x)dx=g(u(x))u(x)dx=g(u(x))du(x)=G(u(x))+C

求解试题

题1: f(x)=(ax+b)dx

解:

f(x)=(ax+b)dx=(ax+b)×1ad(ax+b)u=ax+bf(x)=1audu=12au2+C=(ax+b)22a=a2x2+x+C

题2: f(x)=(3x2)5dx

解:

f(x)=13(3x2)5d(3x2)+C=13×16(3x2)6+C

题3: f(x)=xex2dx

解:

xdx=12dx2,f(x)=12ex2d(x2)=12ex2+C

第二换元法Permalink

公式: 设x=u(t), 可导且u’(t)不为0,则:f(x)dx=f(u(t))u(t)dt=F(t)+C=F(u1(x))+C

求解试题

f(x)=1x(x1)12dx

解:

x=t2+1f(x)=1(t2+1)td(t2+1)=2t2+1dt=2arctant+C=2arctan(x1)12+C

分步求分法Permalink

公式:

[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x)u(x)v(x)=[u(x)v(x)]v(x)u(x),u(x)v(x)dx=u(x)v(x)v(x)u(x)dx

求解试题

f(x)=(x2+1)exdx

解:

f(x)=(x2+1)dex=(x2+1)ex+exd(x2+1)=(x2+1)ex+2exxdx=(x2+1)ex+2xd(ex)=(x2+1)ex2xex+2exdx=(x2+1)ex2xex2ex+C=(x22x3)ex+C