微积分基础
导数Permalink
导数定义Permalink
f′(x)=limΔx−>0f(x+Δx)−f(x)Δx=limx−>x0f(x)−f(x0)x−x0
f′(x)也常表示为:αyαx或者ΔyΔx或者dydx
意义:
-
可以代表曲线
y=f(x)
在某点的切线斜率 -
可以反映y在x的某点上的变化率
-
可以表示运动曲线
s=f(t)
在t的某点上的速率
导数求导法则Permalink
基本运算(加减乘除)Permalink
[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)
[u(x)×v(x)]′=u′(x)×v(x)+u(x)×v′(x)
[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)
链式法则(复合函数)Permalink
若y=f(u)且u=g(x),则dydx=f′(u)×g′(x)或dydu×dudx初等函数的导数Permalink
(C)′=0
(xn)′=nxn−1
(ex)′=ex
(sinx)′=cosx
(cosx)′=−sinx
(ax)′=axlna
(logax)′=1xlna=>(lnx)′=1x
f(x)=11+e−x=>f′(x)=f(x)×(1−f(x))
求导试题Permalink
求函数导数: f(x)=11+e−x
解:
(1+e−x)−1=(−1)×(1+e−x)−2×(1+e−x)′=(−1)×(1+e−x)−2×e−x×(−1)=1ex+e−x+2积分Permalink
积分定义Permalink
原函数: F′(x)=f(x),称F(x)是f(x)在区间I上的原函数
不定积分公式: ∫f(x)dx=F(x)+C,(C为常数)
牛顿-莱布尼茨公式: ∫baf(x)dx=F(b)−F(a)
基本积分公式Permalink
∫xadx=1a+1xa+1+C,(C是常数,a≠−1)
∫axdx=axlna+C
∫exdx=ex+C
∫1xdx=ln|x|+C
几何意义Permalink
求 y=x12 与 y=x2所围图形的面积
解:
A=∫10(x12−x2)dx=[23x32−x33]10=13积分求解方法Permalink
基本性质Permalink
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,k为常数
∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
第一换元法Permalink
公式: ∫f(x)dx=∫g(u(x))u′(x)dx=∫g(u(x))du(x)=G(u(x))+C
求解试题
题1: f(x)=∫(ax+b)dx
解:
f(x)=∫(ax+b)dx=∫(ax+b)×1ad(ax+b)令u=ax+b,则f(x)=1a∫udu=12au2+C=(ax+b)22a=a2x2+x+C题2: f(x)=∫(3x−2)5dx
解:
f(x)=13∫(3x−2)5d(3x−2)+C=13×16(3x−2)6+C题3: f(x)=∫xe−x2dx
解:
∵xdx=12dx2,∴f(x)=−12∫e−x2d(−x2)=−12e−x2+C第二换元法Permalink
公式: 设x=u(t), 可导且u’(t)不为0,则:∫f(x)dx=∫f(u(t))u′(t)dt=F(t)+C=F(u−1(x))+C
求解试题
f(x)=∫1x(x−1)12dx解:
令x=t2+1,则f(x)=∫1(t2+1)td(t2+1)=∫2t2+1dt=2arctant+C=2arctan(x−1)12+C分步求分法Permalink
公式:
由[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),得u(x)v′(x)=[u(x)v(x)]′−v(x)u′(x),两边积分得∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx求解试题
f(x)=∫(x2+1)e−xdx解:
f(x)=−∫(x2+1)de−x=−(x2+1)e−x+∫e−xd(x2+1)=−(x2+1)e−x+2∫e−xxdx=−(x2+1)e−x+2∫xd(−e−x)=−(x2+1)e−x−2xe−x+2∫e−xdx=−(x2+1)e−x−2xe−x−2e−x+C=(−x2−2x−3)e−x+C